Самые известные трансцендентные числа (перевод)

Оригинальная статья доступна здесь, автор - Клифф Пиковер

Я влюблен в таинственные трансцендентные числа. Знаете ли вы, что существует «больше» трансцендентных чисел, чем более знакомых алгебраических? Несмотря на это, людям известно лишь несколько классов трансцендентных чисел, и очень трудно доказать, что конкретное число трансцендентно. В 1844 году математический гений Джозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. (Точнее, он был первым, кто доказал, что определенное число было трансцендентным.) Эрмит доказал, что число* e* было трансцендентным в 1873 году. Линдеман доказал, что число pi было трансцендентным в 1882 году.

Для получения дополнительной информации см. Мою книгу «Чудеса чисел», из которой это выдержка.

Математическая константа pi представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Это самое известное соотношение в математике как на Земле, так и, вероятно, для любой развитой цивилизации во вселенной. Число пи, как и другие фундаментальные константы математики, такие как е = 2,718 ..., является трансцендентным числом. Цифры пи и е никогда не заканчиваются, и никто не обнаружил упорядоченную структуру в их расположении. Люди знают значение пи более чем триллионом цифр.

Трансцендентные числа не могут быть выражены как корень любого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Это означает, что pi не может точно удовлетворить уравнения типа: pi 2 = 10 или 9pi 4 - 240pi 2 + 1492 = 0. Это уравнения, включающие простые целые числа со степенями числа пи. Числа pi и e могут быть выражены как бесконечная непрерывная дробь или как предел бесконечного ряда. Замечательная фракция 355/113 выражает число Пи с точностью до шести знаков после запятой.

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеманн доказал, что пи трансцендентен, и, наконец, положил конец 2500 годам спекуляций. Фактически он доказал, что пи превосходит силу алгебры, чтобы показать ее во всей ее полноте. Это не может быть выражено ни в какой конечной серии арифметических или алгебраических операций. Используя шрифт фиксированного размера, его нельзя написать на клочке бумаги размером с вселенную.

Я также рассказываю обо всех загадках пи в моей книге "Ключи к бесконечности".

Многие из вас, наверное, слышали о пи и е. Но есть ли другие известные трансцендентные числа? Проведя краткий опрос читателей, я составил список из пятнадцати самых известных трансцендентных чисел. Можете ли вы перечислить их в порядке относительной славы и / или использования?

pi = 3.1415...
е = 2,718 ...
Константа Эйлера, гамма = 0.577215 ... = lim n -> бесконечность > (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1 / n - ln (n)) (не доказано, что она трансцендентна, но обычно так считается математиками)
Каталонская константа, G = сумма (-1) ^ k / (2k + 1) ^ 2 = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... (не доказано, что она трансцендентна, но обычно считается математиками.)
Номер Лиувилля 0.110001000000000000000001000 ... который имеет единицу в 1-м, 2-м, 6-м, 24-м и т. Д. Местах и нулях в других местах.
«Постоянная» Чейтина, вероятность того, что случайный алгоритм останавливается. (Ноам Элкис из Гарварда отмечает, что это число не только трансцендентно, но и неисчислимо).
Число Chapernowne, 0.12345678910111213141516171819202122232425 ... Построено путем объединения цифр положительных целых чисел. (Можете ли вы увидеть шаблон?)
Специальные значения дзета-функции, такие как дзета (3). (Обычно можно ожидать, что трансцендентные функции дадут трансцендентные результаты в рациональных точках.)
Ln (2).
Число Гильберта, 2 (кв. 2) . (Это называется числом Гильберта, потому что доказательство того, является ли оно трансцендентным, было одной из знаменитых проблем Гильберта. Фактически, согласно теореме Гельфонда-Шнайдера, любое число формы a bтрансцендентно, где a и b алгебраичны ( a ne 0, a ne 1) и b не является рациональным числом. Многие тригонометрические или гиперболические функции ненулевых алгебраических чисел являются трансцендентными.)
e pi
pi e (Не доказано, что он трансцендентен, но, как полагают, математики.)
Номер Морзе-Тью, 0.01101001 ...
i i = 0.207879576 ... (Здесь i - воображаемое число sqrt (-1). Разве это не настоящая красота? Сколько людей на самом деле думали о том, чтобы приравнять i к степени i? Если a является алгебраическим, а b алгебраическим, но иррационально, тогда a b трансцендентно. Поскольку i является алгебраическим, но иррациональным, применяется теорема. Отметим также: i i равно e (- pi / 2) и нескольким другим значениям. Рассмотрим i i = e (i log i) = e (i раза i pi / 2) . Так как log многозначен, существуют другие возможные значения для i i .
Вот как вы можете вычислить значение i i = 0.207879576 ...
Поскольку e ^ (ix) = Cos x + i Sin x, то пусть x = Pi / 2.
Тогда e ^ (iPi / 2) = i = Cos Pi / 2 + i Sin Pi / 2; так как Cos Pi / 2 = Cos 90 град. = 0. Но Sin 90 = 1, а i Sin 90 град. = (i) * (1) = i.
Поэтому e ^ (iPi / 2) = i.
Возьмите i-ую степень обеих сторон, причем правая сторона равна i ^ i, а левая сторона = [e ^ (iPi / 2)] ^ i = e ^ (- Pi / 2).
Поэтому я ^ я = е ^ (- Пи / 2) = .207879576 ...
Числа Фейгенбаума, например 4.669 .... (Они связаны со свойствами динамических систем с удвоением периода. Соотношение последовательных различий между параметрами бифуркации удвоения периода приближается к числу 4.669 ..., и оно было обнаружено во многих физических системах до того, как они входят в хаотический режим. Не было доказано, что число трансцендентно, но считается, что это так)

Давным-давно Кейт Бриггс из математического факультета Мельбурнского университета в Австралии вычислил то, что он считал мировым рекордом по количеству цифр для числа Фейгенбаума:

669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651 343004134330211314737138689744023948013817165984855189815134 408627142027932522312442988890890859944935463236713411532481 714219947455644365823793202009561058330575458617652222070385 410646749494284981453391726200568755665952339875603825637225

Бриггс выполнил вычисления с использованием специального программного обеспечения, разработанного Дэвидом Бэйли из НАСА Эймс, работающего на IBM RISC System / 6000. Вычисление потребовало нескольких часов работы.

Сегодня мы знаем гораздо больше цифр для постоянной Фейгенбаума. На этой странице приведено более 10 000 цифр.

Муравьи и Трансцендентные Числа

Представьте себе расу говорящих муравьев. Муравьи могут сжимать бесконечные цифры числа Пи интересным способом. Например, представим, что муравьи могут говорить, манипулируя своими грубыми челюстями. Первый муравей в длинном параде муравьев выкрикивает первую цифру "3". Следующий выкрикивает цифру на своей спине - "1". Следующий выкрикивает "4" и так далее. Далее представьте, что каждый муравей произносит свою цифру только за половину времени предыдущего муравья. Каждый муравей говорит по очереди. В любой момент времени произносится только последняя цифра. Если для произнесения первой цифры числа Пи требуется 30 секунд (из-за громоздких челюстей и маленького мозга муравья), то может ли вся муравьиная колония произнести все цифры числа Пи за минуту? (Опять же, это потому, что бесконечная сумма 1/2 минуты + 1/4 минуты + 1/8 минуты + ... равна 1 минуте). Поразительно, но в конце минуты найдется быстро говорящий муравей, который действительно произнесет "последнюю" цифру числа пи! Бог-геометр, услышав эту последнюю цифру, может воскликнуть: "Это невозможно, потому что у пи нет последней цифры!".

(См. ниже письмо от Брайана Б. о говорящих муравьях).

Вот несколько интересных страниц о трансцендентных числах:

1 2 3

Вот книга о трансцендентных числах.

Номер дотти

Число Дотти - уникальный действительный корень cosx = x (а именно, уникальная действительная фиксированная точка функции косинуса), которая равна 0,739085...

Дотти замечала, что всякий раз, когда она вводила число в свой калькулятор и нажимала кнопку косинуса несколько раз, результат всегда сходится к этому значению. Вот это да! Число известно, и появилось в многочисленных элементарных работах по алгебре уже к концу 1880-х годов. Число Дотти является трансцендентным как следствие теоремы Линдемана-Вейерштрасса.

Этот текст о Дотти добавлен в MathWorld.

Комментарии коллег

Комментарии RM Mentock:

Существует множество часто используемых чисел (хотя они не часто признаются таковыми даже математиками), которые также являются трансцендентными. Это легко показать с помощью теоремы Гельфонда-Шнайдера, упомянутой в десятом пункте списка. Если a - алгебраическое, c - алгебраическое, а b = логарифм (основание a) от c не является рациональным, то b должно быть трансцендентным. Иначе из теоремы следовало бы, что c должно быть трансцендентным - а это противоречие. Тогда, при a=10 и c=2, логарифм двойки по основанию 10 является трансцендентным, как и любой логарифм по основанию 10 любого рационального числа, кроме рациональных чисел, равных десяти. То же самое относится и к любому другому рациональному логарифму по основанию. Таким образом, существует множество трансцендентных чисел, которые широко используются. Или они были таковыми сорок лет назад, до появления карманных калькуляторов!

Хочу также отметить, что любое число может быть использовано для получения трансцендентного с помощью алгоритма Лиувилля (см. пункт номер пять). Если число конечное, преобразуйте его в не конечное, вычитая единицу из последней цифры и добавляя в конец бесконечную строку из 9. Затем просто поместите каждую из его цифр туда, куда Лиувилль поместил единицу, даже если цифра равна нулю. В результате получится трансцендентное число.

Брайан Б. комментирует "говорящих муравьев" выше:

На своей странице трансцендентных чисел (https://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/trans.html) вы говорите: "Поразительно, но в конце минуты появится быстро говорящий муравей, который действительно произнесет "последнюю" цифру числа пи!". Это неверно. В бесконечной череде муравьев не существует последнего муравья, так же как не существует последней цифры числа Пи. В этом можно легко убедиться, если заставить всех муравьев объявить свою цифру в одно и то же время. На произнесение всех цифр уйдет ноль секунд, но все равно не будет ни последней цифры, ни последнего муравья. Или совсем забудьте о муравьях и просто попросите каждого муравья объявить свою цифру в один и тот же момент. Но последней цифры все равно нет, как нет конца у натуральных чисел. Надеюсь, вы исправите эту ошибку. Я думаю, что было бы лучше просто удалить весь раздел "Муравьи". Спасибо.