Самые известные трансцендентные числа (перевод)

Оригинальная статья доступна здесь, автор — Клифф Пиковер

Я влюблён в таинственные трансцендентные числа. Знаете ли вы, что трансцендентных чисел «больше», чем более привычных алгебраических? Несмотря на это, людям известно лишь несколько классов трансцендентных чисел, и доказать трансцендентность конкретного числа крайне сложно. В 1844 году математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) первым доказал существование трансцендентных чисел — точнее, первым доказал трансцендентность конкретного числа. Эрмит доказал трансцендентность числа e в 1873 году. Линдеман доказал трансцендентность числа π в 1882 году.

Подробнее об этих числах — в моей книге «Чудеса чисел», из которой взят этот фрагмент.

Математическая константа π — отношение длины окружности к её диаметру. Это самое известное соотношение в математике — на Земле и, вероятно, для любой развитой цивилизации во вселенной. Число π, как и другие фундаментальные константы математики, например e = 2,718..., является трансцендентным. Цифры π и e никогда не заканчиваются, и никому ещё не удалось обнаружить упорядоченную структуру в их расположении. Сегодня значение π известно с точностью более чем до триллиона знаков.

Трансцендентные числа не могут быть выражены как корни алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Это означает, что π не может точно удовлетворять уравнениям вида: π² = 10 или 9π⁴ − 240π² + 1492 = 0 — то есть уравнениям, включающим целые числа и степени π. Числа π и e допускают представление в виде бесконечной непрерывной дроби или как предел бесконечного ряда. Замечательная дробь 355/113 выражает значение π с точностью до шести знаков после запятой.

В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал трансцендентность π, положив конец почти 2500 годам споров. По существу, он показал, что π недостижимо средствами алгебры: его нельзя выразить никакой конечной последовательностью арифметических или алгебраических операций. Если записывать цифры шрифтом фиксированного размера, π не поместится даже на клочке бумаги размером со вселенную.

Обо всех загадках π я рассказываю в своей книге «Ключи к бесконечности».

Многие из вас, конечно, слышали о π и e. Но существуют ли другие известные трансцендентные числа? Проведя небольшой опрос среди читателей, я составил список из пятнадцати самых известных. Попробуйте расположить их в порядке убывания известности или частоты использования.

1. π = 3,14159...

2. e = 2,71828...

3. Постоянная Эйлера γ = 0,577215...

γ = lim(n→∞) (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n − ln(n))

(Трансцендентность не доказана, однако большинство математиков убеждены в этом.)

4. Постоянная Каталана G = Σ (−1)^k / (2k+1)² = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + ...

(Трансцендентность также не доказана, но считается таковой.)

5. Число Лиувилля: 0,110001000000000000000001000...

Единицы стоят на 1-м, 2-м, 6-м, 24-м и т.д. местах (числа, кратные n!), во всех остальных позициях — нули.

6. «Постоянная» Хайтина Ω — вероятность того, что случайный алгоритм останавливается. (Ноам Элкис из Гарварда замечает, что это число не только трансцендентно, но и невычислимо.)

7. Число Чемперноуна: 0,12345678910111213141516171819202122...

Строится путём последовательной конкатенации натуральных чисел. (Видите закономерность?)

8. Специальные значения дзета-функции, например ζ(3). (Как правило, трансцендентные функции дают трансцендентные значения в рациональных точках.)

9. ln(2)

10. Число Гильберта: 2^√2

Названо так потому, что доказательство его трансцендентности было одной из знаменитых проблем Гильберта. Согласно теореме Гельфонда–Шнайдера, любое число вида a^b трансцендентно, если a и b алгебраичны (a ≠ 0, a ≠ 1), а b — иррационально. Многие тригонометрические и гиперболические функции от ненулевых алгебраических чисел тоже трансцендентны.

11. e^π

12. π^e (Трансцендентность не доказана, но, по общему убеждению математиков, выполняется.)

13. Число Морса–Ту: 0,01101001...

14. i^i = 0,207879576...

Здесь i — мнимая единица, √(−1). Разве не удивительно? Многие ли задумывались о том, каково значение i в степени i? По теореме Гельфонда–Шнайдера: если a алгебраично, а b алгебраично, но иррационально, то a^b трансцендентно. Поскольку i алгебраично, но иррационально, теорема применима. Заметим также: i^i = e^(−π/2) и ряд других значений, поскольку логарифм многозначен.

Вот как вычислить i^i = 0,207879576...:

Из формулы Эйлера e^(ix) = cos x + i·sin x подставим x = π/2.
Тогда e^(iπ/2) = cos(π/2) + i·sin(π/2) = 0 + i·1 = i.
Следовательно, e^(iπ/2) = i.
Возведём обе части в степень i: правая сторона даёт i^i, левая — [e^(iπ/2)]^i = e^(i²π/2) = e^(−π/2).
Итого: i^i = e^(−π/2) ≈ 0,207879576...

15. Постоянная Фейгенбаума: δ ≈ 4,669...

Связана со свойствами динамических систем с удвоением периода. Отношение последовательных разностей параметров бифуркации удвоения периода стремится к 4,669... Эта константа была обнаружена во множестве физических систем на пороге перехода в хаотический режим. Трансцендентность не доказана, но предполагается.

Давным-давно Кейт Бриггс с математического факультета Мельбурнского университета вычислил то, что считал мировым рекордом по числу знаков постоянной Фейгенбаума:

669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651
343004134330211314737138689744023948013817165984855189815134
408627142027932522312442988890890859944935463236713411532481
714219947455644365823793202009561058330575458617652222070385
410646749494284981453391726200568755665952339875603825637225

Бриггс выполнил вычисления с помощью специального программного обеспечения, разработанного Дэвидом Бэйли из NASA Ames, на машине IBM RISC System/6000. Расчёт занял несколько часов.

Сегодня известно значительно больше знаков этой константы. На этой странице приведено более 10 000 цифр.

Муравьи и трансцендентные числа

Представьте себе расу говорящих муравьёв. Муравьи могут последовательно произносить бесконечные цифры числа π. Предположим, что каждый муравей в длинном параде называет одну цифру: первый выкрикивает «3», следующий — «1», затем «4» и так далее. При этом каждый следующий муравей тратит ровно вдвое меньше времени, чем предыдущий. Если первый муравей произносит свою цифру за 30 секунд, то сможет ли вся колония озвучить все цифры π за одну минуту? Да — ведь бесконечная сумма 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... равна единице, то есть ровно одной минуте. Поразительно, но к концу минуты найдётся быстро говорящий муравей, который произнесёт «последнюю» цифру π! Геометр-демиург, услышав её, мог бы воскликнуть: «Этого не может быть — у π нет последней цифры!»

(Ниже — комментарий Брайана Б. по этой аналогии.)

Полезные ссылки

Число Дотти

Число Дотти — единственный действительный корень уравнения cos(x) = x, то есть единственная действительная неподвижная точка функции косинуса: ≈ 0,739085...

Дотти заметила, что если вводить произвольное число в калькулятор и многократно нажимать кнопку косинуса, результат всегда сходится к этому значению. Число было известно и встречалось в элементарных алгебраических работах ещё в конце 1880-х годов. Трансцендентность числа Дотти следует из теоремы Линдемана–Вейерштрасса.

Подробнее — в статье MathWorld.

Комментарии читателей

Комментарий R.M. Mentock:

Существует множество широко используемых чисел (хотя и нечасто признаваемых таковыми даже математиками), которые тоже являются трансцендентными. Это легко показать с помощью теоремы Гельфонда–Шнайдера, упомянутой в десятом пункте. Если a — алгебраическое, c — алгебраическое, а b = log_a(c) иррационально, то b должно быть трансцендентным — иначе из теоремы следовало бы, что c трансцендентно, а это противоречие. При a = 10 и c = 2 получаем, что log₁₀(2) трансцендентно — как и любой десятичный логарифм рационального числа, не являющегося степенью десяти. То же самое справедливо для логарифмов по любому другому рациональному основанию. Так что трансцендентные числа встречаются в повседневных вычислениях куда чаще, чем принято думать. Или, по крайней мере, встречались — до появления карманных калькуляторов лет сорок назад!

Добавлю также, что из любого числа можно получить трансцендентное, применив конструкцию Лиувилля (см. пункт 5). Если исходное число конечное, преобразуйте его в бесконечное: вычтите единицу из последней цифры и допишите в конец бесконечную строку из девяток. Затем поставьте каждую цифру этого числа туда, куда Лиувилль ставил единицу — даже если цифра равна нулю. Результатом будет трансцендентное число.

Комментарий Брайана Б. о «говорящих муравьях»:

На странице трансцендентных чисел вы утверждаете: «Поразительно, но к концу минуты найдётся быстро говорящий муравей, который действительно произнесёт "последнюю" цифру π!» — это неверно. В бесконечной череде муравьёв не существует последнего, так же как не существует последней цифры у π. Это легко понять, если представить, что все муравьи произносят свою цифру одновременно: на это ушло бы ноль секунд, однако последней цифры всё равно не появилось бы — ведь нет ни последнего муравья, ни конца у натуральных чисел. Раздел про муравьёв лучше было бы удалить целиком.